Rechner für das Auswuchten in zwei Ebenen

Das Auswuchten in zwei Ebenen braucht drei Läufe, macht daraus vier komplexe Einflusskoeffizienten und löst ein Gleichungspaar nach den beiden Ausgleichsmassen auf. Jede Amplitude mit ihrer Phase ist ein Vektor, die gesamte Rechnung also komplexe Arithmetik, und das Paar wird nach der Regel von Cramer gelöst.

Warum eine Ebene nicht genügt

Ein Rotor, der lang genug für zwei Lager ist, kann ein Moment tragen: gleiche Unwucht an beiden Enden, um eine halbe Umdrehung versetzt. Ein Moment erzeugt keine resultierende Kraft, eine Korrektur in einer Ebene sieht also nichts zu korrigieren, und die Lager spüren es dennoch so stark wie alles andere. Das übliche Anzeichen ist eine Korrektur, die ein Lager verbessert und das andere verschlechtert.

Der Regelfall an einem wirklichen Rotor ist dynamische Unwucht, teils statisch und teils Moment, und sie verlangt zwei Korrekturen an zwei axialen Positionen. Dafür sind die drei Läufe da.

Die drei Läufe

Lauf 1 hält Amplitude und Phase an beiden Lagern im Ausgangszustand fest. Lauf 2 bringt eine bekannte Testmasse unter einem bekannten Winkel in Ebene 1 an und wiederholt beide Messungen. Lauf 3 entfernt diese Masse, setzt eine Testmasse in Ebene 2 und misst erneut.

Das Entfernen der ersten Testmasse ist keine Ordnungsfrage. Die Rechnung setzt voraus, dass jeweils nur eine Testmasse am Rotor sitzt; eine in Lauf 3 stehen gelassene Masse lässt diese Messung beide Ebenen zugleich beschreiben und verdirbt stillschweigend jeden Koeffizienten, der danach entsteht.

Alle Amplituden müssen über die drei Läufe hinweg dieselbe Einheit haben. Ob Millimeter je Sekunde oder Mikrometer, spielt keine Rolle, denn die Lösung hängt allein von Amplitudenverhältnissen und von den Winkeln zwischen ihnen ab.

Vier Einflusskoeffizienten

Schreiben Sie jede Messung als Vektor. Eine Amplitude A unter dem Phasenwinkel θ wird zu x = A cos θ und y = A sin θ. Die Messungen im Ausgangszustand heißen A1 und A2, die aus Lauf 2 B1 und B2, die aus Lauf 3 C1 und C2. Auch die Testmassen T1 und T2 sind Vektoren: eine Masse unter einem Winkel, in derselben Konvention wie die Phase.

Was jede Testmasse für sich bewirkt hat, ist die Vektordifferenz:

• E11 = B1 − A1 und E21 = B2 − A2, was die Testmasse in Ebene 1 an jedem Lager bewirkt hat
• E12 = C1 − A1 und E22 = C2 − A2, was die Testmasse in Ebene 2 an jedem Lager bewirkt hat

Jede davon durch die verursachende Testmasse geteilt ergibt die Schwingung je Gramm, als Betrag und Winkel zusammen:

• H11 = E11 / T1 und H21 = E21 / T1
• H12 = E12 / T2 und H22 = E22 / T2

Diese vier Zahlen sind die Maschine. Sie gehören zusammen mit der Referenzmarke und der Richtung, in der die Winkel zunehmen, ins Protokoll, denn das nächste Auswuchten desselben Rotors bei derselben Drehzahl kann von ihnen ausgehen und spart zwei Läufe.

Das Gleichungspaar lösen

Die Korrekturen U1 und U2 müssen beide Ausgangsmessungen gleichzeitig aufheben:

• H11·U1 + H12·U2 = −A1
• H21·U1 + H22·U2 = −A2

Mit der Determinante D = H11·H22 − H12·H21 liefert die Regel von Cramer beide unmittelbar:

• U1 = ((−A1)·H22 − H12·(−A2)) / D
• U2 = (H11·(−A2) − (−A1)·H21) / D

Alles daran ist komplexe Multiplikation und Division, sodass jede Antwort als Betrag ankommt, der die Masse ist, und als Winkel, der ihren Platz angibt.

Wenn die Determinante gegen null geht

D ist der Teil, den zu beobachten sich lohnt. Sie geht gegen null, wenn die beiden Ebenen die beiden Lager fast im gleichen Verhältnis bewegen, sodass die beiden Gleichungen dasselbe zweimal beschreiben. Dann gibt es kein eindeutiges Massenpaar, das sie löst, die Rechnung liefert trotzdem eine Antwort, und diese Antwort ist gewaltig und falsch.

Der Rechner weigert sich, sie auszugeben, sobald die Determinante auf etwa ein Millionstel der Größe ihrer eigenen Terme fällt. Die Abhilfe ist physisch und nicht numerisch: eine größere Testmasse oder Testmassen dort, wo die Ebenen unterschiedlich auf die beiden Lager wirken. Eine Determinante nahe null ist eine Aussage über die Geometrie der Aufgabe und nicht über die Rechnung.

Eine zweite, mildere Warnung betrifft einen anderen Fehlschlag. Ein Testlauf, der die Summe der Messwerte an den beiden Lagern um weniger als etwa ein Zehntel der Summe im Ausgangszustand ändert, liegt im Rauschen einer handgeführten Messung, und die Richtung, die er nahelegt, ist nahezu beliebig. Die Determinante kann dabei völlig gesund sein und die Antwort trotzdem wertlos. Bringen Sie eine schwerere Testmasse an und wiederholen Sie den Lauf.

Eine Konvention, überall

Massenwinkel und Phasenwinkel müssen in allen drei Läufen in derselben Drehrichtung und von derselben Referenzmarke gemessen werden. Die meisten Geräte zeigen Phasennacheilung, die entgegen der Drehrichtung zunimmt, weshalb Massenwinkel üblicherweise ebenfalls entgegen der Drehrichtung abgetragen werden. Die Rechnung kann nicht erkennen, welche Konvention gilt; Winkel kommen in derjenigen zurück, in der sie hineingegeben wurden. Beide zu mischen setzt beide Ausgleichsgewichte um einen vollkommen vorhersagbaren und vollkommen nutzlosen Betrag an die falsche Stelle.

Ein Rechenbeispiel

Drei Läufe, mit einer Testmasse von 10 g bei 0 Grad, nacheinander in beiden Ebenen.

Zieht man die Ausgangsvektoren ab, bleibt die Wirkung jeder Testmasse: E11 = 5,00 bei 30°, E21 = 2,00 bei 80°, E12 = 1,50 bei 200°, E22 = 4,50 bei 120°. Geteilt durch 10 g bei 0 Grad ergeben sich die vier Koeffizienten je Gramm: H11 = 0,500 bei 30°, H21 = 0,200 bei 80°, H12 = 0,150 bei 200°, H22 = 0,450 bei 120°.

Das gelöste Paar liefert 12,0 g bei 225,0 Grad in Ebene 1 und 8,00 g bei 69,99 Grad in Ebene 2. Die Messwerte wurden aus einer bekannten Unwucht von 12 g bei 45 Grad in Ebene 1 und 8 g bei 250 Grad in Ebene 2 erzeugt. Eine Korrektur liegt der Unwucht, die sie aufhebt, gegenüber, das richtige Ergebnis also eine halbe Umdrehung von beiden entfernt. Dass genau dieses Paar wiedergefunden wird, prüft die ganze Kette der komplexen Rechnung an etwas, das unabhängig davon bekannt ist.

Sehen Sie einen Augenblick auf die Koeffizienten statt auf die Antwort. Ein Gramm in Ebene 1 bewirkt an Lager 1 das Zweieinhalbfache dessen, was es an Lager 2 bewirkt, und die beiden Ebenen wirken an Lager 1 um 170 Grad versetzt, an Lager 2 dagegen nur um 40 Grad. Diese Unsymmetrie hält die Determinante gesund, und keine noch so sorgfältige Messung rettet einen Rotor, dem sie fehlt.

Häufig gestellte Fragen

Wie viele Läufe braucht das Auswuchten in zwei Ebenen?

Drei. Der erste hält Amplitude und Phase an beiden Lagern im Ausgangszustand fest. Der zweite bringt eine bekannte Testmasse unter bekanntem Winkel in Ebene 1 an und wiederholt beide Messungen. Der dritte entfernt diese Masse, setzt eine Testmasse in Ebene 2 und misst erneut. Aus den drei Läufen folgen vier Einflusskoeffizienten, und genau so viele verlangt eine Unwucht in zwei Ebenen an zwei Lagern.

Was sind Einflusskoeffizienten beim Auswuchten?

Es sind die vier komplexen Zahlen, die beschreiben, wie jede Ausgleichsebene jedes Lager bewegt. Einer ist die Schwingung, die ein Gramm in Ebene 1 an Lager 1 erzeugt, ein weiterer das, was dasselbe Gramm an Lager 2 bewirkt, und das übrige Paar sagt dasselbe für Ebene 2. Jeder hat Betrag und Winkel, und beide Hälften werden gebraucht: der Betrag bemisst eine Korrektur, der Winkel setzt sie.

Warum muss die Testmasse vor dem nächsten Lauf entfernt werden?

Weil die Rechnung voraussetzt, dass jeweils nur eine Testmasse am Rotor sitzt. Eine im dritten Lauf in Ebene 1 belassene Masse lässt diese Messung beide Ebenen zugleich beschreiben, sodass die Ebene 2 zugeschriebene Änderung nicht das ist, was Ebene 2 bewirkt hat. Jeder danach berechnete Koeffizient erbt den Fehler, und die Korrekturen wirken plausibel, sind aber in beiden Ebenen falsch.

Was bedeutet es, wenn eine Lösung für zwei Ebenen nicht zustande kommt?

Meist ist die Determinante der Koeffizientenmatrix gegen null gegangen, was geschieht, wenn beide Testmassen die zwei Lager fast im gleichen Verhältnis bewegen. Die beiden Gleichungen beschreiben dann dasselbe zweimal, und kein eindeutiges Massenpaar löst sie. Die Abhilfe ist physisch und nicht numerisch: eine größere Testmasse oder Testebenen, die unterschiedlich auf die beiden Lager wirken.

In welcher Richtung werden die Winkel der Testmassen gemessen?

In jedem Lauf in derselben Drehrichtung wie die Phasenwerte und von derselben Referenzmarke aus. Die meisten Geräte zeigen Phasennacheilung, die entgegen der Drehrichtung zunimmt, weshalb Massenwinkel üblicherweise ebenfalls entgegen der Drehrichtung abgetragen werden. Keine Rechnung erkennt die verwendete Konvention, und gelöste Winkel kommen in derjenigen zurück, in der sie hineingingen; beide zu mischen setzt beide Ausgleichsgewichte falsch.